A análise numérica e os problemas do Milénio

Muitas vezes alguns leigos questionam a importância da análise numérica. Segundo a visão destes, análise numérica resume-se a uma colecção de fórmulas que devem ser utilizadas para resolver exercícios! Quem acha que isto é análise numérica, está muito enganado! Análise numérica é mais do que isto.

Para começar a explicar o que é análise numérica, convém dar alguns exemplos porque Análise Numérica significa dar exemplos!
Um primeiro exemplo vem da resolução de equações não-lineares como por exemplo, encontrar os pontos em que os gráficos das funções exp(-x) e x (figura seguinte) se intersectam.
Um outro exemplo vem da área da computação gráfica que consiste em representar utilizando software, figuras e sólidos geométricos no plano e espaço, respectivamente.

Analiticamente, o primeiro problema (figura da direita) não é possível encontrar uma solução exacta. No entanto, usando o teorema do ponto fixo (de Banach), podemos construir um algoritmo iterativo que converge para a solução desejada. Se olharmos bem para este último exemplo, um teorema é um algoritmo e um algoritmo pode ser programável. Logo um teorema é algo que pode ser programável.
O segundo problema pode ser visto como um problema de interpolação utilizando splines. Para quem não saiba, um spline não é mais que uma função por ramos, em que cada ramo é um polinómio.

Na análise matemática (ou cálculo), as funções por ramos polinomiais (ou splines) são o problema pois não contínuas e diferenciáveis, em geral. Em análise numérica elas são a solução pois permitem representar um conjunto de dados que contém singularidades (veja um exemplo na figura à esquerda, uma interpolação de dados aleatórios usando o polinómio de Newton e usando Splines cúbicos naturais). Por exemplo, para representar um tetraedro, nós nunca podemos usar uma função diferenciável pois deste modo nunca conseguiríamos representar os lados e as faces de um tetraedro.

Para percebermos o porquê da análise numérica devemos recuar até ao princípio do século e olhar para os 23 problemas propostos por David Hilbert. Caso não saibam, 7 destes problemas ainda estão por resolver. Estes foram em considerados em 2000 pela Clay Mathematics Institute como os problemas do milénio. Um dos mais apetecíveis é o estudo da existência e regularidade das equações de Navier-Stokes. A imagem à direita representa um fluido turbulento que pode ser modelado por estas equações.

Se repararem na formulação dos problemas, todos eles nos pedem soluções analíticas. Porém, como podem imaginar, a sua solução teórica (caso exista) é muito complexa, não fosse a Clay Mathematics Institute oferecer um milhão de dólares a quem os conseguir resolver.
No entanto, caso não saibam, quando David Hilbert (foto à esquerda) propôs os 23 problemas no início do século XX, o seu objectivo foi o de estimular o desenvolvimento da matemática. O mais curioso é que durante o último milénio ocorreu aquilo a que se chama uma verdadeira revolução industrial na matemática.

No início do século XX, a matemática deixou de se preocupar com problemas da Mecânica Clássica e passou a preocupar-se com questões provenientes de outras ciências como a Economia, Biologia, Física Moderna (Relatividade e Mecânica Quântica), Química entre outras.

Já no decorrer do século XX, várias áreas da matemática deram grandes avanços como a Análise Complexa, Análise Funcional, Teoria dos operadores e a Teoria das distribuições (ou funções generalizadas).
Com estas teorias, a matemática reduziu o estudo de equações diferenciais aparentemente complicadas ao estudo de equações que envolvam operadores. Com estas abordagens os matemáticos deixaram de dar tanta importância à resolução explícita das equações começaram a dar mais relevo a outro tipo de questões com o estudo qualitativo destas como questões de existência, unicidade e regularidade das soluções.
Nos anos 70, emergiu a Análise Numérica como complemento da Análise Funcional. Passou-se a dar menos importância ao estudo de erros de medições e aproximações e começou-se a dar mais importância à resolução de equações funcionais usando métodos tais como o método de diferenças finitas, método dos elementos finitos, método dos elementos de fronteira, métodos espectrais e o método de decomposição de domínios .Mais recentemente foram introduzidos métodos baseados em wavelets

Por outro lado, emergiu no seio da área da Análise Numérica uma nova área essencialmente preocupada com a manipulação de matrizes de grandes dimensões e ao desenvolvimento de packages em C++ e Fortran tais como a LINPACK e LAPACK.

Estas foram desenhadas especialmente para serem utilizadas em supercomputadores (veja na imagem da esquerda o Supercomputador do instituto Konrad-Zuse Berlin) e para criar linguagens de programação de altíssimo nível como por exemplo o Matlab. Esta nova área designa-se por Álgebra Linear Numérica, sendo que parte deste desenvolvimento deve-se essencialmente a Jack Dongarra, Cleve Moler e James Demmel. Tornou-se assim indispensável o desenvolvimento de métodos iterativos dado que o número de dados do nosso problema é proporcional ao aumento do número de condição de uma matriz. O desenvolvimento de métodos iterativos centrou-se inicialmente no desenvolvimento de métodos para matrizes simétricas e definidas positivas (método dos gradientes conjugados ). Actualmente o estudo deste tipo de métodos centra-se essencialmente em matrizes genéricas que são invertíveis mas não necessariamente simétricas nem definidas positivas (GMRES, Bi-CGSTAB), métodos estes baseados na teoria dos subespaços de Krylov. Um dos grandes impulsionadores destes métodos foi Van der Vorst . Actualmente os métodos numéricos baseados em subespaços de Krylov estão no main-stream da matemática pois estão directamente envolvidos na resolução numérica das equações de Navier-Stokes, melhor dizendo, Computational Fluid Dynamics. Neste tipo de problemas como as equações de Navier-Stokes, a análise numérica veio dar resposta às necessidades em áreas como a aeronáutica, automação, naval, farmacêutico (quem diria !!!) e químico, por exemplo. O moral da história é que na vida prática, ninguém se pode dar ao luxo de esperar que alguém resolva analiticamente o problema.

Na vida prática o que todos esperamos é encontrar soluções imediatas para os problemas, e para tal, a análise numérica é a maneira mais rápida de darmos uma primeira resposta aos nossos problemas reais.

PS: Texto de opinião escrito em Novembro de 2005 e revisto em Maio 2006